집합 \(X=\{1,2,3,4\}\)에 대하여 \(X\)에서 \(X\)로의 함수 \(f\)를 생각하자.
(1) 일대일대응 중 \(f(1)\lt f(2)\)인 것의 개수를 구하시오.
(2) 일대일대응 중 \(f(1)\lt f(2)\)이고 \(f(3)\ne3\)인 것의 개수를 구하시오.
(3) 함수 중 \(f(1)\lt f(2)\lt f(3)\)인 것의 개수를 구하시오.

\(0\le x\lt2\pi\)일 때
(1) 방정식 \(2\sin^2x+3\cos x-3=0\)의 모든 해의 합을 구하시오.
(2) 부등식 \(2\sin^2x+3\cos x-3\ge0\)의 해를 구하고, 해가 나타내는 구간의 길이의 합을 구하시오.

양수 \(t\)에 대하여 곡선 \(y=x^3\) 위의 점 \(\mathrm{P}(t, t^3)\)에서의 접선이 이 곡선과 만나는 점 중 \(\mathrm{P}\)가 아닌 점을 \(\mathrm{Q}\)라 하자.
(1) 점 \(\mathrm{Q}\)의 좌표를 \(t\)로 나타내시오.
(2) 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S(t)\)를 구하시오.
(3) \(S(t)=108\)일 때 \(t\)의 값을 구하시오.

수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1=1,\ a_{n+1}=2a_n+1\,(n\ge1)\)을 만족시킨다.
(1) 수열 \(\{a_n+1\}\)이 등비수열임을 보이고 \(a_n\)을 구하시오.
(2) \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k=2^{n+1}-n-2\)임을 수학적 귀납법으로 증명하시오.
(3) \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k\gt1000\)을 만족시키는 자연수 \(n\)의 최솟값을 구하시오.